Родился 30 мая 1731 года в казацком поселке Новый Кодак.

В 7 лет привёз его в Запорожскую Сечь крестный отец. Корж прошёл путь настоящего казака – от джуры (оруженосца) до войскового старшины. Был назначен сечевым знахарем. Кроме того, у атамана Петра Калнышевского Никита Корж был кухарем и доверенным лицом – конфидентом.

После ликвидации Сечи Никита Леонтьевич поселился в слободе Половица (ныне часть города Днепропетровск. Когда в 1787 году началось заселение будущего города, Никита Леонтьевич переселился в зимовник своего крёстного отца, бывшего войскового есаула Я. Качалова.

На реке Сухая Сура императрица своим указом отвела ему 10 тысяч десятин запорожской земли. Корж пригласил жителей Нового Кодака и Половицы поселиться на его земле, «взяв сколько поднять сможете». Так образовались новые «вольные хутора», которые позже стали селом Михайловкой.

Никита Леонтьевич умер 1 ноября 1835 года от простуды, которую получил, ходя за сбором подаяния на построение новой церкви.

Известен тем, что его любопытные и весьма характерные рассказы, записанные Гавриилом, архиепископом херсонским и таврическим, и Иоанном, епископом саратовским, изданы особой книжкой, под названием: "Устное повествование бывшего запорожца, жителя Екатеринославской губернии и уезда, села Михайловского, Никиты Леонтьевича Коржа" в 1842 году в Одессе - являются особым историческим источником, повествующем о последних днях Новой Сечи, о быте и жизни запорожских казаков, об истории Днепропетровска и области.